Perdület - Angular momentum

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Perdület
Gyroskop.jpg
Ez a giroszkóp függőleges marad forgás közben, szögletének megőrzése miatt.
Általános szimbólumok
L
Az SI alapegységek kg m 2 s −1
Megőrzött ? Igen
Származékok
más mennyiségekből
L = I ω = r × p
Dimenzió M L 2 T −1

A fizika , perdület (ritkán, impulzusnyomatékhajtómű vagy forgási momentum ) a forgási megfelelője lendületmegmaradási . Fontos mennyiség a fizikában, mert konzervált mennyiség - a zárt rendszer teljes szögmomentuma állandó marad.

Három méretek , a perdület egy pont részecske egy pseudovector r × p , a kereszt termék a részecske helyzetét vektor R (relatív bizonyos eredetű) és annak lendületet vektor ; ez utóbbi a newtoni mechanikában p = m v . Ez a meghatározás a kontinuum minden pontjára alkalmazható, például szilárd anyagokra vagy folyadékokra vagy fizikai mezőkre . A lendülettől eltérően a szögimpulzus valóban attól függ, hogy hol választják az eredetet, mivel a részecske helyzetét abból mérik.

A szögsebességhez hasonlóan a szögimpulzusnak két speciális típusa van: a spin szögimpulzus és az orbitális szögimpulzus. Az objektum spin-szögmomentuma a tömegkoordinátájának középpontja körüli szögimpulzus. Egy objektum választott eredetű orbitális szögmomentuma a tömegközéppont szöget képező momentuma az eredet körül. Az objektum teljes szögmomentuma a spin és az orbitális szögmomentumok összege. Az orbitális impulzusmomentum vektor egy pont részecskéket mindig párhuzamos és közvetlenül arányos az orbitális szögsebesség vektor ω a részecske, ahol az arányossági egyaránt függ a részecske tömege és a távolság a eredetű. A merev test spin-szögimpulzus-vektora arányos, de nem mindig párhuzamos az Ω spin-szögsebesség-vektorral , így az arányosság állandója másodfokú tenzor, nem pedig skalár.

A szögimpulzus kiterjedt mennyiség; azaz bármely összetett rendszer teljes szögmomentuma az alkotórészeinek szögmomentumainak összege. Folyamatos merev test esetén a teljes szögmomentum a szögimpulzus-sűrűség térfogatintegrálja (azaz a térfogategységre eső szögimpulzus a határértékben, amikor a térfogat nullára csökken) az egész testen.

A nyomaték úgy határozható meg, mint a szögimpulzus változásának sebessége, az erőhöz hasonlóan . Bármely rendszer nettó külső nyomatéka mindig megegyezik a rendszer teljes nyomatékával; más szóval, bármely rendszer összes belső nyomatékának összege mindig 0 (ez Newton harmadik törvényének rotációs analógja ). Ezért zárt rendszer esetén (ahol nincs nettó külső nyomaték) a rendszer teljes nyomatékának 0-nak kell lennie, ami azt jelenti, hogy a rendszer teljes szögmomentuma állandó. A természetvédelmi impulzusmomentum segít megmagyarázni sok megfigyelt jelenségek, például a növekedés fordulatszámát egy pörgő műkorcsolyázó a korcsolyázó karjai szerződött, a nagy forgási sebessége neutroncsillagok , a Coriolis-hatás és a precesszió a giroszkóp . Általában a megőrzés korlátozza a rendszer lehetséges mozgását, de nem határozza meg egyedileg, hogy mi a pontos mozgás.

A kvantummechanikában a szögimpulzus (mint más mennyiségek) operátorként fejeződik ki , és egydimenziós vetületei kvantálták a sajátértékeket . A szögimpulzus a Heisenberg-bizonytalansági elv alá tartozik , ami azt jelenti, hogy bármikor csak egy vetület (más néven "komponens") mérhető határozott pontossággal; a másik kettő ekkor bizonytalan marad. Emiatt a kvantumrészecske fogalma, amely szó szerint "forog" egy tengely körül, nem létezik. A kvantum részecskék valóban rendelkeznek egy nem orbitális szögimpulzusnak, amelyet "spinnek" neveznek, de ez a szögimpulzus nem felel meg a tényleges fizikai forgó mozgásnak.

Definíció a klasszikus mechanikában

Orbitális szögimpulzus két dimenzióban

Az m részecske sebessége az O kiindulási ponthoz viszonyítva felbontható az r sugárvektorral párhuzamos ( v ) és merőleges ( v ) komponensekre . A perdület a m arányos a merőleges komponense v a sebesség vagy ezzel egyenértékűen, a merőleges távolsága R a származási.

A szögimpulzus egy olyan vektormennyiség (pontosabban egy pszeudovektor ), amely a test forgási tehetetlenségének és forgási sebességének (radianban / sec) adott tengely körüli szorzatát képviseli . Ha azonban a részecske pályája egyetlen síkban fekszik , akkor elegendő elvetni a szögimpulzus vektor jellegét, és skalárként (pontosabban pszeudoszkalárként ) kezelni . A szögimpulzus a lineáris impulzus forgási analógjának tekinthető . Tehát, ahol a p lineáris impulzus arányos az m tömeggel és az v lineáris sebességgel ,

az L szögimpulzus arányos az I tehetetlenségi nyomatékkal és az ω szögsebességgel , radiánban másodpercenként mérve.

A tömegtől eltérően, amely csak az anyag mennyiségétől függ, a tehetetlenségi nyomaték a forgástengely helyzetétől és az anyag alakjától is függ. A lineáris sebességgel ellentétben, amely nem függ az eredet megválasztásától, az orbitális szögsebességet mindig egy rögzített origóhoz viszonyítva mérik. Ezért szigorúan véve L- t arra a központra vonatkoztatott szögimpulzusnak kell nevezni .

Mivel egyetlen részecske és a körmozgás esetén a szögimpulzus kibővíthető és csökkenthető,

az r forgási sugár és a részecske lineáris momentumának szorzata , ahol ebben az esetben az egyenértékű lineáris (tangenciális) sebesség a sugárnál ( ).

Ez az egyszerű elemzés is alkalmazható a nem-körkörös mozgás, ha csak a eleme a mozgás, amely merőleges a sugár vektor tekinthető. Ebben az esetben,

hol van a mozgás merőleges komponense. A szögimpulzus bővítése, átrendezése és csökkentése is kifejezhető,

hol van a pillanat karjának hossza, az origóból merőlegesen leesett egy vonal a részecske útjára. Ez a definíció, (a pillanat karjának hossza) × (lineáris impulzus) , amelyre a lendület momentuma kifejezés utal.

Skalár - szögmomentum a Lagrangian-mechanikától

Egy másik megközelítés az, hogy a szögmomentumot a mechanikai rendszer Lagrangianusában kifejezett szögkoordináta konjugált momentumaként (más néven kanonikus impulzusként ) definiáljuk . Tekintsünk egy mechanikus rendszert, amelynek tömege külső erőtér hiányában sugárkörben mozoghat . A rendszer mozgási energiája az

És a potenciális energia

Akkor a Lagrangian az

A generalizált lendület „kanonikusan konjugátum” koordináta határozza meg

Orbitális szögimpulzus három dimenzióban

Kapcsolat az erő ( F ), a nyomaték ( τ ), a lendület ( p ) és a szögimpulzus ( L ) vektorok között egy forgó rendszerben. r a pozícióvektor .

Az orbitális szögimpulzus három dimenzióban történő teljes definiálásához ismerni kell a helyzetvektor kisugárzási sebességét, a szögeltolódás pillanatnyi síkjára merőleges irányt és az érintett tömeget , valamint azt, hogy ez a tömeg hogyan oszlik el űrben. A szögimpulzus ezen vektor jellegének megtartásával az egyenletek általános jellege is megmarad, és bármilyen háromdimenziós mozgást leírhat a forgás középpontja körül - kör alakú , lineáris vagy egyéb. A vektor jelölést , az orbitális impulzusmomentum egy pont részecske mozgásban a származás fejezhető ki:

hol

a tehetetlenségi nyomaték egy tömegpont ,
a részecske orbitális szögsebessége az eredet körüli radiánban / sec (1 egység / sec),
a helyvektora a részecske képest a származási, ,
a lineáris sebesség a részecske viszonyított eredetét, és
a tömege a részecske.

Ez kibővíthető, csökkenthető és a vektor algebra szabályaival átrendezhető:

amely a pozícióvektor és a részecske lineáris impulzusának keresztterméke . A kereszttermék meghatározása szerint a vektor merőleges mindkettőre és . A szögeltolódás síkjára merőlegesen irányul, amint azt a jobb oldali szabály jelzi - úgy, hogy a szögsebességet a vektor fejétől az óramutató járásával ellentétes irányban kell látni . Ezzel szemben a vektor meghatározza azt a síkot , amelyben és amelyben fekszik.

A szögeltolódási síkra merőleges egységvektor meghatározásával skaláris szögsebességet kapunk , ahol

és
hol van a mozgás merőleges eleme, mint fent.

Az előző szakasz kétdimenziós skaláregyenletei tehát irányt adhatnak:

és körmozgás esetén, ahol az összes mozgás merőleges a sugárra .

A gömbös koordináta-rendszerben a szögimpulzus-vektor úgy fejeződik ki

A lineáris momentum analógiája

A szögimpulzus a lineáris impulzus forgási analógjaként írható le . A lineáris lendülethez hasonlóan tömeg- és elmozdulási elemeket is tartalmaz . A lineáris impulzustól eltérően a helyzet és az alak elemeit is magában foglalja .

A fizika számos problémája magában foglalja az anyag mozgását a tér bizonyos pontja körül, legyen az a tényleges körforgás körül, vagy egyszerűen elmegy mellette, ahol tudni kell, hogy a mozgó anyag milyen hatást gyakorol a pontra - képes-e energiát kifejteni vagy végezzen vele munkát? Az energia , a munkavégzés képessége az anyagban tárolható mozgásba helyezésével - tehetetlenségének és elmozdulásának kombinációja . A tehetetlenséget a tömegével , az elmozdulást pedig a sebességével mérjük . Termékük,

a dolog lendülete . Ennek a momentumnak egy központi pontra utalása komplikációt okoz: a lendületet nem közvetlenül a pontra alkalmazzák. Például a kerék külső szélén lévő anyagrészecske valójában a kerék sugarával azonos hosszúságú kar végén van, amelynek lendülete elfordítja a kart a középpont körül. Ez a képzeletbeli kar pillanatkarként ismert . Ennek a hatása az, hogy a lendület erőfeszítéseit hosszával arányosan megszorozza, ez a pillanat néven ismert hatás . Ezért a részecske lendülete egy adott pontra vonatkozott,

a szögmomentum , amelyet néha úgy hívnak, mint itt, a részecske momentumának momentuma az adott középponttal szemben. Az egyenlet egy momentumot (tömeges forgatónyomaték kar ) és egy lineáris (egyenes egyenértékű) sebességet ötvöz . A középpontra utaló lineáris sebesség egyszerűen a távolság és a szögsebesség szorzata a ponttal szorzata : egy másik pillanat. Ezért a szögimpulzus kettős momentumot tartalmaz: kissé leegyszerűsítve a mennyiség a részecske tehetetlenségi nyomatéka , amelyet néha a tömeg második pillanatának nevezünk. Ez a rotációs tehetetlenség mértéke.

A tehetetlenségi nyomaték (itt látható), és ezért a szögimpulzus a tömeg és a forgástengely minden lehetséges konfigurációjánál eltérő .

Mivel a tehetetlenségi nyomaték a spin-szögimpulzus döntő része, az utóbbi szükségszerűen magában foglalja az előbbi összes bonyodalmat, amelyet úgy számolunk, hogy a tömeg elemi bitjeit megszorozzuk a forgásközponttól mért távolságuk négyzetével . Ezért a teljes tehetetlenségi nyomaték és a szögimpulzus összetett függvénye az anyag konfigurációjának a forgás középpontjáról és a forgás orientációjáról a különféle biteknél.

Egy merev test , például egy kerék vagy egy aszteroida, a tájékozódás forgási egyszerűen a helyzet a forgástengely versus az ügyet a test. Lehet, hogy áthalad a tömegközépponton , vagy nem, vagy teljesen a testen kívül fekszik. Ugyanazon test esetében a szögimpulzus eltérő értéket vehet fel minden lehetséges tengelyre, amely körül forgás történhet. A minimumot akkor éri el, amikor a tengely áthalad a tömegközépponton.

A központ körül forogó objektumok gyűjteménye, például a Naprendszer összes teste , az irányok kissé rendezettek lehetnek, akárcsak a Naprendszer, a testek tengelyeinek nagy része a rendszer tengelyéhez közel fekszik. Tájolásuk is teljesen véletlenszerű lehet.

Röviden: minél nagyobb a tömeg és minél távolabb van a forgásközponttól (minél hosszabb a pillanatkar ), annál nagyobb a tehetetlenségi nyomaték, és ezért annál nagyobb a szögmomentum egy adott szögsebességnél . Sok esetben a tehetetlenségi nyomaték és ennélfogva a szögimpulzus egyszerűsíthető,

hol van a giráció sugara , az a tengelytől való távolság, amelyen a teljes tömeg koncentráltnak tekinthető.

Hasonlóan, egy olyan pont tömege a tehetetlenségi nyomaték meghatározása,

hol van a ponttömeg sugara a forgásközponttól,

és bármilyen részecskegyűjtés esetén összegként,

A szögimpulzus helyzettől és alaktól való függése az egységekben tükröződik a lineáris momentumhoz viszonyítva: kg⋅m 2 / s, N⋅m⋅s vagy J⋅s a szögimpulzushoz képest kg⋅m / s vagy N⋅s a lineáris impulzushoz. A szögimpulzus kiszámításakor, amikor a tehetetlenségi nyomaték szorzata szorzata a szögsebességnek, a szögsebességet radián / másodpercben kell kifejezni, ahol a radián az egység dimenzió nélküli értékét veszi fel. (A dimenzióanalízis végrehajtása során eredményes lehet orientációs elemzés alkalmazása, amely a radiánokat alapegységként kezeli, de ez kívül esik a nemzetközi egységrendszer hatókörén ). A szögimpulzus mértékegységei értelmezhetők toridő nyomatékként vagy szögenkénti energiaidőként. Egy objektum perdület a L N⋅m⋅s csökkenthető nullára forgatóképesség (összes forgási energia vihető át belőle) egy szögletes impulzus a L N⋅m⋅s vagy ezzel egyenértékűen, a nyomaték vagy munkája L N⋅m egy másodpercig, vagy L J energiája egy másodpercig.

A szögimpulzus tengelyére merőleges és a tömegközépponton áthaladó síkot néha változatlan síknak nevezzük , mert a tengely iránya rögzített marad, ha csak a rendszeren belüli, külső hatásoktól mentes testek kölcsönhatásait vesszük figyelembe. Az egyik ilyen sík a Naprendszer változatlan síkja .

Szögnyomaték és nyomaték

Newton második mozgástörvénye matematikailag kifejezhető,

vagy erő = tömeg × gyorsulás . A pontrészecskék forgási egyenértéke a következőképpen számítható ki:

ami azt jelenti, hogy a nyomaték (vagyis az idő -származék a perdület) van

Mivel a tehetetlenség pillanata az , ebből következik , és ami csökken

Ez Newton második törvényének rotációs analógja. Vegye figyelembe, hogy a forgatónyomaték nem feltétlenül arányos vagy párhuzamos a szöggyorsulással (amire számítani lehet). Ennek az az oka, hogy egy részecske tehetetlenségi pillanata idővel megváltozhat, ami a hétköznapi tömegnél nem fordulhat elő.

A szögimpulzus megőrzése

A forgó műkorcsolyázó a szögimpulzus megőrzését használja - csökkentve tehetetlenségi nyomatékát a karjaiba és lábaiba rajzolva, megnő a forgási sebessége .

Általános szempontok

Newton harmadik mozgástörvényének forgási analógját írhatjuk: " Zárt rendszerben semmilyen anyagra nem lehet nyomatékot kifejteni anélkül, hogy egyenlő és ellentétes nyomatékú más anyagot kellene kifejteni." Ennélfogva a szögmomentum kicserélhető objektumok között egy zárt rendszerben, de a teljes szögimpulzus egy csere előtt és után állandó marad (konzervált).

Másképp nézve Newton első mozgástörvényének rotációs analógja írható: "A merev test egyenletes forgásállapotban folytatódik, hacsak külső hatás nem hat rá." Tehát anélkül, hogy külső hatást gyakorolna rá, a rendszer eredeti szögmomentuma állandó marad .

A szögimpulzus megőrzését a központi erő mozgásának elemzésére használják . Ha valamely testen a nettó erő mindig valamilyen pont, a középpont felé irányul , akkor a testen nincs nyomaték a középponthoz képest, mivel az egész erő a sugár vektor mentén irányul , és egyik sem merőleges a sugárra . Matematikailag nyomaték mert ebben az esetben , és párhuzamos vektorok. Ezért a testnek a középpont körüli szögmomentuma állandó. Ez a helyzet a gravitációs vonzás a pályája a bolygók és a műholdak , ahol a gravitációs erő mindig irányul az elsődleges test és kering szervek megőrzésére perdület cseréjével távolság és a sebesség, ahogy mozognak az elsődleges. A központi erő mozgását az atom Bohr-modelljének elemzésénél is felhasználják .

Egy bolygó számára a szögimpulzus megoszlik a bolygó forgása és a pályáján lévő forradalma között, és ezeket gyakran különböző mechanizmusok cserélik ki. A szögmomentum megőrzése a Föld – Hold rendszerben azt eredményezi, hogy a szögimpulzus átkerül a Földről a Holdra, a Hold árapályi nyomatéka miatt a Földön. Ez pedig a Föld forgási sebességének lelassulását eredményezi, napi körülbelül 65,7 nanoszekundummal, és a Hold pályájának sugarát fokozatosan, évente körülbelül 3,82 centiméterrel növeli.

A nyomaték okozta a két ellentétes erő F g és - F g változást okoz a perdület L irányába, hogy a forgatónyomaték (mivel nyomaték az idő származéka perdület). Ez okozza a felső a precessziós mozgást .

A szögimpulzus megőrzése megmagyarázza a jégkorcsolyázó szöggyorsulását , amikor karjait és lábait a függőleges forgástengelyhez közelíti. Azáltal, hogy testének egy részét közelebb hozza a tengelyhez, csökkenti testének tehetetlenségi pillanatát. Mivel a szögimpulzus a tehetetlenségi nyomaték és a szögsebesség szorzata , ha a szögimpulzus állandó marad (konzerválva van), akkor a korcsolyázó szögsebességének (forgási sebességének) meg kell nőnie.

Ugyanez a jelenség a kompakt csillagok (például fehér törpék , neutroncsillagok és fekete lyukak ) rendkívül gyors forgását eredményezi, amikor sokkal nagyobb és lassabban forgó csillagokból képződnek. Az objektum méretének n- szeres csökkenése a szögsebességét n 2- szeresére növeli .

A természetvédelem nem mindig teljes magyarázat a rendszer dinamikájára, de kulcsfontosságú korlát. Például egy forgó csúcs gravitációs nyomatéknak van kitéve , amelynek eredményeként az áthajlik és megváltoztatja a szögnyomatékot a táplálási tengely körül, de a fonási érintkezés helyén elhanyagolva a súrlódást konzervált tengelye körül konzervált, másik pedig a tengelye körül van. precessziós tengely. Ezenkívül bármely bolygórendszerben a bolygók, a csillagok, az üstökösök és az aszteroidák számos bonyolult módon mozoghatnak, de csak úgy, hogy a rendszer szögmomentuma megmaradjon.

Noether-tétel kimondja, hogy minden védelmi gyakorlat társul szimmetria (állandó) a mögöttes fizika. A szögimpulzus megőrzésével járó szimmetria a rotációs invariancia . Az a tény, hogy a rendszer fizikája nem változik, ha bármely szöget elforgatják egy tengely körül, azt jelenti, hogy a szögimpulzus konzervált.

Kapcsolat Newton második mozgástörvényéhez

Míg a szögmomentum teljes megőrzése Newton mozgástörvényeitől elkülönítve értelmezhető, mint amelyek Noether tételéből fakadnak a forgás alatt szimmetrikus rendszerekben, egyszerűen csak az eredmények számításának hatékony módszereként is felfogható, amelyek egyébként egyébként közvetlenül is elérhetők Newton második törvény, valamint a természeti erőket szabályozó törvények (például Newton harmadik törvénye, Maxwell-egyenletek és Lorentz-erő ). Valójában, figyelembe véve az egyes pontok helyzetének és sebességének kezdeti feltételeit, valamint az ilyen állapotban lévő erőket, Newton második törvényét használhatjuk a helyzet második deriváltjának kiszámításához, és ennek megoldása teljes információt nyújt a fizikai rendszer fejlődéséről idő. Megjegyezzük azonban, hogy ez a kvantummechanikában már nem igaz, a részecske-spin létezése miatt , amely szögmomentum nem írható le a pontszerű mozgások térbeli kumulatív hatásával.

Példaként vegye fontolóra a tehetetlenségi pillanat csökkenését , pl. Amikor egy műkorcsolyázó a kezét húzza, felgyorsítva a körmozgást. A szögimpulzus megőrzését tekintve az L szögimpulzusra az I tehetetlenségi nyomaték és az ω szögsebesség tartozik :

Ennek felhasználásával azt látjuk, hogy a változáshoz energiára van szükség:

hogy a tehetetlenségi pillanat csökkenése energiabefektetést igényel.

Ez összehasonlítható az elvégzett munkával, amelyet Newton törvényei alapján számítottak ki. A forgó test minden pontja az egyes időpontokban felgyorsul, radiális gyorsulással:

Figyeljünk meg egy m tömegű pontot , amelynek a mozgás középpontjához viszonyított helyzetvektora egy adott időpontban párhuzamos a z tengellyel, és z távolságban van . A centripetális erő ezen a ponton a körmozgást megtartva:

Így a munka szükséges ahhoz, hogy ezt a pontot a mozgás középpontjától távolabb lévő dz távolságra mozgassa :

Nem pontszerű testnél integrálódni kell ezen, m- t az z egységre eső tömegsűrűséggel helyettesítve . Ez:

ami pontosan az az energia szükséges, amely a szögimpulzus megőrzéséhez szükséges.

Megjegyezzük, hogy a fenti számítás tömegenként is elvégezhető, csak kinematika alkalmazásával . Így a műkorcsolyázó tangenciális sebességet felgyorsító jelenségei, miközben a kezét behúzza, laikus nyelven a következőképpen értelmezhetők: A korcsolyázó tenyere nem egyenes vonalban mozog, ezért folyamatosan gyorsul befelé, de nem nyer további sebességet mert a gyorsítást mindig akkor végezzük, ha a befelé irányuló mozgásuk nulla. Ez azonban más, ha a tenyereket közelebb húzzuk a testhez: A forgás miatti gyorsulás növeli a sebességet; de a forgás miatt a sebesség növekedése nem jelent jelentős befelé irányuló sebességet, hanem a forgási sebesség növekedését.

Lagrangi formalizmusban

A Lagrange-mechanika , perdület forgatható körül egy adott tengely, a konjugált lendület az általános koordináta szög ugyanazon tengely körül. Például a z tengely körüli szögmomentum:

hol van a Lagrangian és a z tengely körüli szög.

Vegye figyelembe, hogy a szög időderiváltja a szögsebesség . Rendszerint a Lagrangian függ a kinetikus energián keresztüli szögsebességtől: Ez utóbbi úgy írható, hogy a sebességet sugárirányúnak és tangenciális részének elválasztjuk úgy, hogy az xy síkban lévő tangenciális rész a z tengely körül egyenlő:

ahol az i alindex az i-edik testet jelenti, m , v T és ω z pedig a tömeget, a z tengely körüli tangenciális sebességet és az adott tengely körüli szögsebességet.

Egy nem pontszerű, ρ sűrűségű test helyett ehelyett:

ahol I z a z tengely körüli tehetetlenségi nyomaték.

Tehát feltételezve, hogy a potenciális energia nem függ ω z-től (elektromágneses rendszereknél ez a feltételezés kudarcot vallhat), megvan az i-edik objektum szögmomentuma:

Eddig minden tárgyat külön szöggel forgattunk; Azt is meghatározzák egy általános szöget θ z amellyel elforgatjuk az egész rendszer, így forgó is minden objektum körül a Z-tengely, és a teljes perdület:

Tól Euler-Lagrange egyenletek azt az következik, hogy:

Mivel a lagrangian csak a potenciálon keresztül függ az objektum szögeitől:

amely az i-edik tárgy nyomatéka.

Tegyük fel, hogy a rendszer invariáns a forgásokra, így a potenciál független az θ z szög által alkotott teljes elfordulástól (így csak az objektumok szögeitől függhet a formájú különbségeken keresztül ). Ezért megkapjuk a teljes szögmomentumot:

Így a z tengely körüli szögimpulzus konzervált.

Ez az elemzés megismételhető minden tengelyre külön-külön, a sarokimpulzus-vektor beszélgetését megadva. A három tengely körüli szögeket azonban nem lehet egyszerre általánosított koordinátaként kezelni, mivel ezek nem függetlenek; pontonként különösen két szög elegendő helyzetének meghatározásához. Bár igaz, hogy egy merev test esetében annak teljes leírása a három fordítási szabadságfok mellett három, a forgás szabadságának fokát is megköveteli ; ezek azonban nem definiálhatók a derékszögű tengelyek körüli elfordulásokként (lásd Euler-szögek ). Ezt a figyelmeztetést a kvantummechanika tükrözi a szögimpulzus- operátor különböző komponenseinek nem triviális kommutációs viszonyaiban .

Hamiltoni formalizmusban

A Hamilton-féle mechanikában ekvivalens módon a Hamilton-féle a szögimpulzus függvényében írható le. Az i-edik objektumhoz hasonlóan a kinetikus energia z-tengely körüli forgásával kapcsolatos része:

ami analóg az energia függés lendületet mentén a z-tengely, .

Hamilton egyenletei összefüggésbe hozzák a z tengely körüli szöget konjugált momentumával, az ugyanazon tengely körüli szögmomentumot:

Az első egyenlet megadja

Így ugyanazokat az eredményeket kapjuk, mint a lagrangi formalizmusban.

Vegye figyelembe, hogy az összes tengely összekapcsolásához a kinetikus energiát a következőképpen írjuk fel:

ahol p r a sugárirányú impulzus, és a tehetetlenségi pillanat egy háromdimenziós mátrix ; félkövér betűk a háromdimenziós vektorokat jelentik.

A pontszerű testek esetében:

A Hamilton-féle kinetikus energia résznek ez a formája hasznos a centrális potenciálproblémák elemzésében , és könnyen átalakítható kvantummechanikai munkakeretbe (pl. A hidrogénatom problémájában).

Szögmomentum az orbitális mechanikában

Míg a klasszikus mechanikában a szögimpulzus nyelvét Newton mozgástörvényei helyettesíthetik, ez különösen hasznos a központi potenciálban való mozgáshoz, például a bolygó mozgásához a naprendszerben. Így a bolygó keringését a Naprendszerben az energiája, a szögmomentuma és a pálya főtengelyének koordinátakerethez viszonyított szöge határozza meg.

Az asztrodinamikában és az égi mechanikában egy tömeg nélküli (vagy tömegegységre eső ) szögmomentumot határozunk meg

specifikus szögimpulzusnak nevezzük . Vegye figyelembe, hogy a tömeg gyakran nem fontos az orbitális mechanikai számításokban, mert a mozgást a gravitáció határozza meg . A rendszer elsődleges teste gyakran annyival nagyobb, mint bármelyik mozgó test, hogy a kisebb testek elhanyagolható gravitációs hatást gyakorolnak rá; valójában helyhez kötött. Nyilvánvalóan minden testet gravitációja ugyanúgy vonz, függetlenül a tömegtől, ezért mindegyik körülbelül azonos módon mozog ugyanazon körülmények között.

Szilárd testek

A szögimpulzus rendkívül hasznos fogalom olyan forgó merev testek leírására is, mint a giroszkóp vagy a sziklás bolygó. Egy folyamatos tömegeloszlás a sűrűség függvény ρ ( r ), a differenciál térfogatú elemet dV a helyvektora r belül a massza tömege eleme dm = ρ ( r ) dV . Ezért ennek az elemnek a végtelenül kis szögmomentuma:

és ennek a különbségnek az egész tömeg térfogatára történő integrálása megadja annak teljes szögmomentumát:

A következõ levezetésben az ehhez hasonló integrálok helyettesíthetik a folytonos tömeg esetén az összegeket.

Részecskék gyűjtése

Az i részecskék szögmomentuma az R × M V + Σ r i × m i v i kereszttermékek összege .

Egy tetszőleges eredetű mozgásban lévő részecskék gyűjteménye szempontjából informatív, ha a szögimpulzus egyenletét úgy fejlesztjük ki, hogy mozgásukat a saját tömegközéppontjukra és az eredetükre vonatkozó alkatrészekre bontjuk. Adott,

a részecskék tömege ,
a részecske pozícióvektora az origóval szemben,
a részecske sebessége az eredethez képest,
a tömegközéppont helyzetvektora az origóval szemben,
a tömegközéppont sebessége az eredethez viszonyítva,
a részecske helyzetvektora a tömegközépponttal szemben,
a részecske sebessége a tömegközépponttal szemben,

A részecskék teljes tömege egyszerűen az összegük,

A tömegközép helyzetvektorát a következő határozza meg:

Ellenőrzéssel

és

A részecskegyűjtés teljes szögmomentuma az egyes részecskék szögimpulzusának összege,

    ( 1 )

Bővülő ,

Bővülő ,

Megmutatható, hogy (lásd az oldalsávot),

Bizonyítsd

amely a tömegközéppont meghatározása szerint és hasonlóan

és

ezért a második és a harmadik kifejezés eltűnik,

Az első kifejezés átrendezhető,

és a részecskék összegyűjtésének teljes

    ( 2 )

Az első kifejezés a tömegközéppont szöget képező momentuma az eredethez képest. Az alábbiakban az Egy részecskéhez hasonlóan ez egy M tömegű részecske szögmomentuma az V sebességgel mozgó tömegközéppontban . A második tag a részecskék szöget képező momentuma a tömegközépponthoz viszonyítva, hasonlóan a rögzített tömegközépponthoz . Az eredmény általános - a részecskék mozgása nem korlátozódik a tömeg eredetére vagy középpontjára vonatkozó forgásra vagy fordulatra. A részecskéknek nem kell egyedi tömegeknek lenniük, hanem folyamatos eloszlás elemei lehetnek, például szilárd test.

A ( 2 ) egyenlet átrendezése vektoridentitásokkal, mindkét kifejezés szorzása "eggyel", és megfelelő csoportosítás,

megadja a részecskék rendszerének teljes szögmomentumát a tehetetlenségi nyomaték és a szögsebesség szempontjából ,

    ( 3 )

Egy részecske eset

Abban az esetben, ha egyetlen részecske az önkényes eredet körül mozog,

és a ( 2 ) és ( 3 ) egyenlet a teljes szögimpulzusra

Rögzített tömegközéppont esete

Az eredethez képest a térben rögzített tömegközéppont esetében:

és a ( 2 ) és ( 3 ) egyenlet a teljes szögimpulzusra

Szögimpulzus az általános relativitáselméletben

A háromszögű momentum mint
bivektor (sík elem) és axiális vektor , az m tömegű részecske pillanatnyi 3-helyzetű x és 3-impulzusú p-vel .

A modern (20. századi) elméleti fizikában a szögmomentumot (a belső szögmomentumot nem beleértve - lásd alább ) egy másik formalizmus írja le, a klasszikus álvektor helyett . Ebben a formalizmusban a szögmomentum a rotációs invarianciával társított 2 formájú Noether töltés . Ennek eredményeként a szögimpulzus nem konzerválódik az általános ívelt téridőkben , hacsak véletlenül aszimptotikusan rotációsan invariáns.

A klasszikus mechanikában a részecske szögmomentuma sík elemként értelmezhető újra:

amelyben a külső termék ∧ helyettesíti a keresztterméket × (ezek a termékek hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek, de nem egyenértékűek). Ennek az az előnye, hogy az x és a p vektorból definiált sík elemként világosabb geometriai értelmezést kap , és a kifejezés tetszőleges számú (kettő vagy annál nagyobb) dimenzióban igaz. Derékszögű koordinátákban:

vagy tömörebben az index jelölésében:

A szögsebesség antiszimmetrikus másodrendű tenzorként is meghatározható, ω ij komponensekkel . A két antiszimmetrikus tenzor kapcsolatát a tehetetlenségi nyomaték adja, amelynek most negyedik rendű tenzornak kell lennie:

Ismételten elmondhatom , hogy ez az egyenlet L-ben és ω-ban, mint tenzorok, tetszőleges dimenzióban igaz. Ez az egyenlet megjelenik a geometriai algebrai formalizmusban is, amelyben L és ω kettéválasztó, a tehetetlenségi pillanat pedig leképezés közöttük.

A relativisztikus mechanika , a relativisztikus perdület egy részecske van kifejezve antiszimmetrikus tenzor másodrendű:

a nyelv a négy-vektorok , azaz a négy helyzetben X , és a négy lendület P , és elnyeli a fenti L együtt a mozgás a tömegközéppontja a részecske.

A fenti esetek mindegyikében egy részecskerendszer esetében a teljes szögimpulzus csak az egyes részecske szögmomentumainak összege, és a tömegközéppont a rendszerre vonatkozik.

Szögimpulzus a kvantummechanikában

A kvantummechanikában a szögimpulzus sok mély tekintetben különbözik a klasszikus mechanika szögmomentumától . A relativisztikus kvantummechanikában ez még jobban különbözik egymástól, amelyben a fenti relativisztikus definíció tenzori operátorrá válik.

Spin, orbitális és teljes szögimpulzus

Klasszikus tárgy szögletes momentuma .
  • Balra: az "spin" szögimpulzus S az objektum minden ponton orbitális szögmomentuma.
  • Jobbra: L külső tengely körüli orbitális szögimpulzus .
  • Felső: az I tehetetlenségi nyomaték nyomatéka és az ω szögsebesség ( L nem mindig párhuzamos az ω-val ).
  • Alul: p impulzus és r sugárirányú helyzete a tengelytől. A teljes perdület (spin plusz orbitális) van J . Egy kvantumrészecske esetében az értelmezések eltérőek; részecske spin- nak nem rendelkezik a fenti értelmezést.

A szögimpulzus klasszikus meghatározása, amely átvihető a kvantummechanikába, újraértelmezve r-t mint kvantumpozíció- operátort és p-t mint kvantumimpulzus- operátort . L ekkor operátor , amelyet kifejezetten orbitális szögimpulzus-operátornak nevezünk . A szögmomentum-operátor komponensei kielégítik a Lie algebra kommutációs viszonyait (3). Valójában ezek az operátorok éppen a rotációs csoport végtelen kis hatása a kvantum Hilbert-térben. (Lásd még a szögimpulzus-operátorok, mint a forgás generátorainak alábbi tárgyalását.)

A kvantumfizikában azonban létezik egy másik típusú szögimpulzus is, az úgynevezett spin-szögimpulzus , amelyet az S spin-operátor képvisel . Szinte az összes elemi részecskének nem null spinje van. A centrifugálást gyakran olyan részecskeként ábrázolják, amely szó szerint egy tengely körül forog, de ez félrevezető és pontatlan kép: a forgás egy részecske belső tulajdonsága, amely nem kapcsolódik semmiféle térbeli mozgáshoz, és alapvetően különbözik az orbitális szögetől. Minden elemi részecskének van egy jellegzetes spinje (esetleg nulla), például az elektronoknak van "spin 1/2" értéke (ez tulajdonképpen azt jelenti, hogy "spin ħ / 2"), a fotonoknak van "spin 1" (ez tulajdonképpen azt jelenti, hogy "spin ħ"), és a pi-mezonok spinje 0.

Végül van egy teljes J szögmomentum , amely egyesíti az összes részecske és mező spin és orbitális szögmomentumát. (Az egyik részecske, J = L + S .) Megőrzése perdület vonatkozik J , de nem az L vagy S ; például a spin-pálya interakció lehetővé teszi a szögimpulzus oda-vissza átvitelét L és S között, a teljes állandó érték mellett. Az elektronoknak és a fotonoknak nem kell egész szám alapú értékeket adniuk a teljes szögimpulzushoz, de lehetnek frakcionált értékek is.

A molekulákban az F teljes szögmomentum a rovibrón (orbitális) N szögimpulzus , az elektron spin S szögimpulzus és az atom spin I szögimpulzus összege . Az elektronikus szingulett állapotok esetében a rovibronikus szögmomentumot J helyett N jelölik . Amint Van Vleck kifejtette, a molekularögzített tengelyekre utaló molekuláris rovibrón szögimpulzus komponenseinek kommutációs viszonyai eltérnek az űrrögzített tengelyekkel rendelkező komponensek kommutációs viszonyaitól.

Kvantálás

A kvantummechanikában a szögimpulzus kvantált - vagyis nem változhat folyamatosan, hanem csak bizonyos kvantum ugrásokban bizonyos megengedett értékek között. Bármely rendszerre a mérési eredményekre vonatkozó alábbi korlátozások vonatkoznak, ahol a redukált Planck-állandó és bármely euklideszi vektor , például x, y vagy z:

Ha megméred ... Az eredmény lehet ...
vagy
, hol
vagy , hol
Ebben a kör alakú húron álló álló hullámban a kör pontosan 8 hullámhosszra van felosztva . Az ilyen álló hullámnak 0,1,2, vagy tetszőleges számú hullámhossza lehet a kör körül, de nem lehet nem egész számú hullámhossza, például 8,3. A kvantummechanikában a szögimpulzus hasonló okból kvantált.

(Vannak további korlátozások is, a részletekért lásd a szögmomentum operátorát .)

A redukált Planck-állandó a mindennapok szerint kicsi, körülbelül 10 −34 J s , ezért ez a kvantálás nem érezhetően érinti a makroszkopikus tárgyak szöget. Nagyon fontos azonban a mikroszkopikus világban. Például a kémiai elektronhéjak és részhéjak szerkezetét jelentősen befolyásolja a szögimpulzus kvantálása.

Kvantálás perdület először feltételezték Niels Bohr az ő Bohr modell az atom, és később megjósolta Erwin Schrödinger ő Schrödinger egyenlet .

Bizonytalanság

A definíció Hat szolgáltató van szó: A pozíció szereplők , , és a lendület szereplők , , . A Heisenberg-bizonytalansági elv azonban azt mondja nekünk, hogy nem lehetséges, hogy e hat mennyiséget tetszőleges pontossággal egyidejűleg ismerjük. Ezért vannak korlátai annak, amit meg lehet tudni vagy meg lehet mérni egy részecske szögmomentumáról. Kiderült, hogy a legjobb, amit tehetünk, ha egyszerre mérjük meg a szögimpulzus vektor nagyságát és alkatrészeit egy tengely mentén.

A bizonytalanság szorosan összefügg azzal, hogy a szögimpulzus-operátor különböző komponensei például nem ingáznak . (A pontos kommutációs viszonyokról lásd a szögmomentum operátorát .)

A teljes szögimpulzus mint forgásgenerátor

Amint azt fentebb említettük, az L orbitális szögmomentumot a klasszikus mechanikában definiálják:, de a teljes J szögmomentumot egy másik, alaposabb módon definiálják : J a "forgásgenerátor". Pontosabban, J-t úgy definiáljuk, hogy az operátor

az a forgatás operátor , amely bármely rendszert megfog és szöggel forgatja a tengely körül . (A képletben az "exp" az operátor exponenciálisra vonatkozik ) Ennek fordított fordítása érdekében , bármi is legyen a kvantum Hilbert-térünk, arra számítunk, hogy az SO (3) forgatócsoport hat rá. Ekkor a Lie algebra társítja a SO (3) SO (3) műveletét; a so (3) Hilbert-terünkre gyakorolt ​​hatását leíró operátorok a (teljes) szögimpulzus-operátorok.

A szögimpulzus-operátor és a forgásoperátorok kapcsolata megegyezik a Lie-algebrák és a matematika Lie-csoportjainak kapcsolatával. A szögimpulzus és a forgások közötti szoros kapcsolatot tükrözi Noether tétele, amely bizonyítja, hogy a szögimpulzus konzerválódik, amikor a fizika törvényei rotációsan invariánsak.

Szöglendület az elektrodinamikában

Amikor leírja a mozgását egy töltött részecske egy elektromágneses mező , a kanonikus lendület P (származik Lagrange ez a rendszer) nem szelvény invariáns . Ennek következtében az L = r × P kanonikus szögimpulzus sem mérőinvariáns. Ehelyett a fizikai lendület, az úgynevezett kinetikus impulzus (a cikk egészében használatos) ( SI egységekben )

ahol e az elektromos töltés a részecske és egy a mágneses vektor potenciál az elektromágneses mező. A nyomtáv-invariáns szögimpulzus, vagyis a kinetikus szögimpulzus a

A kvantummechanikával való kölcsönhatást a kanonikus kommutációs kapcsolatokról szóló cikk tárgyalja tovább .

Szöglendület az optikában

A klasszikus Maxwell-elektrodinamikában a Poynting-vektor az elektromágneses mező lineáris impulzus-sűrűsége.

A szögimpulzus-sűrűség-vektort egy vektor szorzat adja meg, mint a klasszikus mechanikában:

A fenti azonosságok érvényesek lokálisan , azaz minden egyes tér pont egy adott pillanatban .

Történelem

Newton a Principia- ban szögletes lendületre utalt a mozgás első törvényének példáiban ,

A csúcs, amelynek alkatrészei kohéziójuk folytán állandóan elhúzódnak a egyenes vonalú mozgásoktól, nem szünteti meg forgását, csak akkor, ha a levegő lassítja. A bolygók és üstökösök nagyobb testei, amelyek kevesebb ellenállással találkoznak a több szabad térben, sokkal hosszabb ideig megőrzik mozgásukat mind progresszív, mind kör alakúak.

Nem vizsgálta tovább a szögmomentumot közvetlenül a Principia-ban ,

Az effajta reflexiókból időnként a testek saját központjukkal kapcsolatos körmozgásai is keletkeznek. De ezek olyan esetek, amelyeket a következőkben nem veszek figyelembe; és túl unalmas lenne bemutatni minden olyan sajátosságot, amely ehhez a témához kapcsolódik.

A területek törvényének geometriai bizonyítása azonban kiváló példa Newton zsenialitására, és közvetetten bizonyítja a szögimpulzus megőrzését egy központi erő esetén .

A területek törvénye

Newton levezetése

Newton a területi törvény levezetését geometriai eszközökkel.

Amint egy bolygó a Nap körül kering , a Nap és a bolygó közötti vonal azonos időközönként egyenlő területeket söpör ki. Ez már azóta is ismert volt, hogy Kepler kifejtette a bolygó mozgásának második törvényét . Newton egyedi geometriai bizonyítékot kapott, és megmutatta, hogy a Nap gravitációjának vonzó ereje okozta Kepler összes törvényét.

Az első időintervallum alatt egy tárgy mozog az A ponttól a B pontig . Zavartalanul folytatja a c pontot a második intervallum alatt. Amikor az objektum B -be ér, az S pont felé irányuló impulzust kap . Az impulzus kicsi hozzáadott sebességet ad S felé , oly módon, hogy ha ez lenne az egyetlen sebessége, akkor a második intervallum alatt B- ről V-re haladna. A sebesség-összetétel szabályai szerint ez a két sebesség összeadódik, és a C pontot a BcCV paralelogramma felépítésével találjuk meg . Így az objektum útját az impulzus eltereli, hogy a C pontba érjen a második intervallum végén. Mivel az SBc és SBC háromszögeknek ugyanaz az SB alapja és azonos Bc vagy VC magasságuk , ugyanaz a területük. Szimmetria szerint az SBc háromszögnek ugyanolyan területe van, mint az SAB háromszögnek , ezért az objektum egyenlő SAB és SBC területeket söpört ki azonos idő alatt.

A C pontban az objektum újabb impulzust kap S felé , és ismét elhárítja útját d- től D- ig terjedő harmadik intervallum alatt . Így továbbra is az E és azon túl, a háromszögek SAB , SBC , SBC , SCD , SCD , Sde , SDE melyek mindegyike ugyanazon a területen. Ha az időintervallumok egyre kisebbek lesznek, az ABCDE útja határozatlanul közelít egy folyamatos görbéhez.

Vegye figyelembe, hogy mivel ez a levezetés geometriai, és nincs külön erő alkalmazva, ez általánosabb törvényt bizonyít, mint Kepler bolygó mozgásának második törvénye. Ez azt mutatja, hogy a területek törvénye minden központi erőre vonzó vagy visszataszító, folyamatos vagy nem folyamatos, vagy nulla vonatkozik.

A szögimpulzus megőrzése a területek törvényében

A szögmomentum aránya a mozgó tárgy által elárasztott területtel megérthető annak felismerésével, hogy a háromszögek alapjai, vagyis az S- től az objektumig tartó egyenesek egyenértékűek az r sugárral , és hogy a a háromszögek arányosak a v sebesség merőleges összetevőjével . Ennélfogva, ha az egységnyi idő alatt söpört terület állandó, akkor a háromszög terület képletével 1 / 2 (bázis) (magasság) , a terméket (bázis) (magasság) , és ezért a termék RV állandó: ha R , és a bázis hosszúságú csökken, v és magassága kell arányosan nő. A tömeg állandó, ezért az rmv ang szögnyomatékot megőrzi a távolság és a sebesség ezen cseréje.

Az SBC háromszög esetében a terület egyenlő 1 / 2 ( SB ) ( VC ). Ahol C végül található miatt az impulzus alkalmazott B , a termék ( SB ) ( VC ), és így RMV állandó marad. Hasonlóan minden háromszög esetében.

Newton után

Leonhard Euler , Daniel Bernoulli és Patrick d'Arcy mind megértették a szögmomentumot a terület sebességének megőrzése szempontjából , Kepler bolygó mozgásának második törvényének elemzésének eredményeként. Nem valószínű, hogy rájöttek a közönségesen forgó anyagra gyakorolt ​​következményeire.

1736-ban Euler, Newtonhoz hasonlóan, érintette a szögimpulzus néhány egyenletét Mechanica-jában anélkül, hogy tovább fejlesztette volna őket.

Bernoulli egy 1744-es levelében írt egy "forgási mozgás pillanatát", valószínűleg a szögmomentum első elképzelését, ahogyan mi most értjük.

1799-ben Pierre-Simon Laplace először rájött, hogy egy fix sík jár a forgással - változatlan síkjával .

Louis Poinsot 1803-ban elkezdte a forgásokat a forgásra merőleges vonalszakaszként ábrázolni, és részletesen kidolgozta a "pillanatok megőrzését".

1852-ben Léon Foucault használt giroszkóp egy kísérletben, hogy megjelenítse a Föld forgása.

William JM Rankine 1858-as alkalmazott mechanikai kézikönyje először határozta meg a modern értelemben vett szöget:

... egy olyan vonal, amelynek hossza arányos a szögimpulzus nagyságával, és amelynek iránya merőleges a test mozgási síkjára és a rögzített ponthoz, és olyan, amely a test mozgását a A vonal vége, a test sugara-vektora jobbkezesnek tűnik.

Ugyanennek a könyvnek 1872-es kiadásában Rankine kijelentette, hogy "a szögleti lendület kifejezést Mr. Hayward vezette be", valószínűleg RB Hayward cikkére hivatkozva A sebességek, gyorsulások és minden hasonló mennyiség becslésének közvetlen módszeréről a mozgatható tengelyek vonatkozásában. semmilyen módon space Applications, amelyet azért vezettek be 1856-ban, és közzé 1864. Rankine tévedett, mivel számos publikáció található kifejezés kezdve a 18. század végén a 19. század elején. Hayward cikke azonban nyilvánvalóan a kifejezés és a fogalom első használatát jelentette, amelyet az angol nyelvterület nagy része látott. Ezt megelőzően a szögimpulzust angolul "rotációs impulzusnak" nevezték.

Lásd még

Lábjegyzetek

Hivatkozások

Külső linkek